Question

在一个数列中，若每一项与它的后一项的乘积都同为一个常数（有限数列最后一项除外），则称该数列为等积数列，其中常数称公积．若数列{a_n}是等积数列，且a₆=2，公积为6，则a₁•a₅•a₉…a₂₀₀₅•a₂₀₀₉的值是（ ）
A．2⁵⁰²
B．3⁵⁰²
C．2⁵⁰³
D．3⁵⁰³

Answer

由题意可知a1a2=a2a3=a3a4=a5a6=…=an-1an=6，可得a6=2，则数列{an}的奇数项为3，偶数项为2．曲此能够推导出a1•a5•a9…a2005•a2009的值．
【解析】
由题意可知a1a2=a2a3=a3a4=a5a6=…=an-1an=6，
∵a6=2，∴数列{an}的奇数项为3，偶数项为2，
∴a1=a5=a9=…=a2005=a2009=3．
设等差数列bn中，
首项b1=1，公差d=4，则bn=4n-3．
由4n-3≥2009的n≥503，
∴a1，a5，a9，…，a2005，a2009中共有503项，
∴a1•a5•a9…a2005•a2009=3503．
故选D．