Question

已知函数f（x）=x（x²-a），（a∈R）
（1）求f（x）的单调区间；
（2）若过点P（1，-2）可以向y=f（x）作两条切线，求a的取值范围．

Answer

（1）欲求f（x）的单调区间，只需求f'（x）＞0与f'（x）＜0的解集，本题需对a的正负进行分类讨论；
（2）设过P（1，-2）向y=f（x）作切线于切点（x，y），然后求出切线方程，将点P坐标代入得到关于x的三次方程即2x3-3x2+a-2=0有两个不等的实根，令g（x）=2x3-3x2+a-2，然后利用导数研究极值，根据方程g（x）=0有三个实根，其中两个根是等根建立等式关系，解之即可．
【解析】
（1）由f（x）=x3-ax求导数得到f'（x）=3x2-a．
（i）当a≤0时，f'（x）≥0，则f（x）在R上单增．
（ii）当．
则上单调递增；
在上单调递减．…（5分）
（2）设过P（1，-2）向y=f（x）作切线于切点（x，y），
则y-y=（3x2-a）（x-x），即y=（3x2-a）x-2x3
则y=（3x2-a）x-2x3过P（1，-2），
∴-2=3x2-a-2x3，即2x3-3x2+a-2=0．
由题意知关于x的方程
2x3-3x2+a-2=0有两个不等的实根．
令g（x）=2x3-3x2+a-2，
则g'（x）=6x2-6x=6x（x-1）．
于是g（x）极小=g（1）=a-3，
g（x）极大=g（0）=a-2．
方程g（x）=0有三个实根，其中两个根是等根．
∴
∴a=3或a=2
∴所求a的取值范围为[2，3]．…（13分）