Question

已知数列{a_n}满足a_n=2a_n-1-2n+5（n∈N⁺且n≥2），a₁=1．
（1）若b_n=a_n-2n+1，求证：数列{b_n}（n∈N⁺）是常数列，并求{a_n}的通项；
（2）若S_n是数列{a_n}的前n项和，又c_n=（-1）ⁿS_n，且{c_n}的前n项和T_n＞tn²在n∈N⁺时恒成立，求实数t的取值范围．

Answer

（1）由已知中数列{an}满足an=2an-1-2n+5（n∈N+且n≥2），a1=1．我们易得到an-2n+1=2[an-1-2（n-1）+1]，又由bn=an-2n+1，可得bn=2bn-1，且b1=0，进而易判断出数列{bn}（n∈N+）是常数列，即bn=0，再由bn=an-2n+1，即可给出数列{an}的通项公式；
（2）由（1）中结论，我们易得数列{an}为等差数列，进而易得到Sn的表达式，根据cn=（-1）nSn，求出对应的{cn}后，分n为奇数和偶数两种情况分别求出Tn解对应的不等式式，即可求出实数t的取值范围．
【解析】
（1）由an=2an-1-2n+5知：an-2n+1=2[an-1-2（n-1）+1]，而a1=1
于是由bn=an-2n+1，可知：bn=2bn-1，且b1=0
从而bn=0，故数列{bn}是常数列．
于是an=2n-1．（5分）
（2）Sn是{an}前n项和，则Sn=1+3+5+…+（2n-1）=n2，cn=（-1）nn2
当n为奇数时，即n=2k-1，Tn=T2k-1=-12+22-32+42+…+（2k-2）2-（2k-1）2
=-k（2k-1）=-
当n为偶数时，Tn=T2k=T2k-1+（2k）2=．
∴Tn=．
由Tn＞tn2恒成立，则需＞tn2恒成立．只需n为奇数时恒成立．
∴（n=1，3，5，7，），
∴（n=1，3，5，7，）恒成立．
而，
∴t＜-1，故所需t的范围为（-∞，-1）．（13分）