△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2B=A+C，b=2，则a+c...

△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2B=A+C，b=2，则a+c的取值范围是．

由2B=A+C及三角形的内角和定理求出B的度数，进而得到cosB的值，利用余弦定理表示出cosB，把cosB及b的值代入得到关于a与c的关系式ac=a2+c2-4，变形后根据基本不等式得出ac的最大值，然后利用完全平方公式把（a+c）2展开后，再将a2+c2=ac+4代入化简为含有ac的关系式，根据ac的最大值求出（a+c）2的最大值，开方即可得到a+c的最大值，最后再根据三角形的两边之和大于第三边，由a+c大于b可得a+c的范围，综上，得到a+c的范围．【解析】 ∵2B=A+C，且A+B+C=π， ∴B=，即cosB=，又b=2， ∴根据余弦定理得：cosB=，即ac=a2+c2-4， ∴ac+4=a2+c2≥2ac，即ac≤4， ∴（a+c）2=a2+c2+2ac=4+3ac≤16，又a+c＞b=2，则a+c的取值范围是（2，4]．故答案为：（2，4]

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考点分析：

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试题属性

题型：解答题
难度：中等