(1)由f(x)=ax+lnx求导,再由f(x)有极值知f′(x)=0解,且在两侧导函数正负相异求解.
(2)由(Ⅰ)可知f(x)的极大值为,再求得端点值f(1)=a,f(e)=ae+1,比较后取最小值和最大值,从而求得值域.
(3)证明:由:∀x1∈(1,e),∃x∈(1,e),使得g(x)=f(x1)f(x1)即研究:f(x)的值域是g(x)的值域的子集,所以分别求得两函数的值域即可.
【解析】
(1)由f(x)=ax+lnx求导可得:.(2分)
令=0,可得
∵x∈(1,e),∴∴(3分)
又因为x∈(1,e)
所以,f(x)有极值所以,实数a的取值范围为.(4分)
(2)由(Ⅰ)可知f(x)的极大值为(6分)
又∵f(1)=a,f(e)=ae+1
由a≥ae+1,解得又∵
∴当时,
函数f(x)的值域为(ae+1,-1+ln()](8分)
当时,
函数f(x)的值域为(a,-1+ln()].(10分)
(3)证明:由g(x)=x3-x-2求导可得g'(x)=3x2-1(11分)
令g'(x)=3x2-1=0,解得
令g'(x)=3x2-1>0,解得或
又∵
∴g(x)在(1,e)上为单调递增函数(12分)
∵g(1)=-2,g(e)=e3-e-2
∴g(x)在x∈(1,e)的值域为(-2,e3-e-2)(14分)
∵,
-2<ae+1,-2<a
∴,
∴∀x1∈(1,e),∃x∈(1,e),使得g(x)=f(x1)成立.(16分)