Question

在棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面A₁B₁C₁D₁上取一点E使AE与AB、AD所成的角都等于60°，则AE的长为．
A．
B．
C．
D．

Answer

在正方体的对角面AA1C1C中，找到EH∥AA1，从而EH⊥平面ABCD，AE在平面ABCD内的射影AH在正方形对角线AC上，从而AE满足与AB、AD所成的角相等．再作HI⊥AB于I，连接EI，设AI=x，利用解直角三角形，得AE=2x，AH=x，最后在Rt△AEH中利用勾股定理，可建立等式，最终求出AE的长度．
【解析】
连接AC、A1C1，分别在A1C1、AC上取一点E、H，使AH=A1E，连接AE、EH
过H作HI⊥AB于I，连接IE
∵多面体ABCD-A1B1C1D1是正方体
∴四边形AA1C1C是矩形
∴AH∥A1E，再结合AH=A1E
∴四边形AA1EH是平行四边形
∴EH∥AA1，再结合AA1与平面ABCD垂直
∴EH⊥平面ABCD
∵AC是∠BAD的平分线，AE在底面ABCD内的射影AH在AC上
∴∠EAD=∠EAB
∵AB⊂平面ABCD，EH⊥平面ABCD
∴AB⊥EH，再结合AB⊥HI，EH∩HI=H
得：AB⊥平面EHI
∵EI⊂平面EHI
∴EI⊥AB
Rt△AEI中，设AI=x，∠EAI=60°
∴cos60°=，可得AE=2x
Rt△AHI中，∠HAI=45°
∴cos45°=，可得AH=
在Rt△AEH中，AH2+EH2=AE2
∴，可得x=
∴AE=2x=
故选C