Question

如图，在四棱椎P-ABCD中，底面ABCD是∠BAD=60°且边长为2的菱形，侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD．
（1）若G为AD边的中点，求证：BG⊥平面PAD；
（2）求二面角A-BC-P的大小；
（3）若E为BC的中点，能否在棱PC上找一点F，使得平面DEF⊥平面ABCD，并证明你的结论．

Answer

（1）先由面面垂直的性质定理，得PG⊥平面ABCD，从而PG⊥BG，再由线面垂直的判定定理证明BG⊥平面PAD
（2）先找到所求二面角的平面角即∠PBG，再由二面角平面角定义证明，最后在三角形中计算此角的大小，即得二面角的大小
（3）若平面DEF⊥平面ABCD，结合DE∥平面PBG，可判断平面DEF一定与平面PBG平行，从而由面面平行的性质定理可知点F应为PC的中点，然后证明此结论即可
【解析】
（1）∵PA=PD，AG=GD，∴PG⊥AD
∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，
∴PG⊥平面ABCD，BG⊂平面ABCD
∴PG⊥BG
又四边形ABCD为菱形，且∠BAD=60°，
∴AD⊥BG，PG∩AD=G
∴BG⊥平面PAD
（2）∵PG⊥平面ABCD，∴BC⊥PG
又∵BC⊥BG
∴BC⊥平面PBG
∴∠PBG为二面角A-BC-P的平面角，
在Rt△PGB中，PG=BG，∴∠PBG=45°
所以二面角A-BC-P大小为45°
（3）取PC的中点F，则点F即为所求的点
证明：∵E为BC的中点，∴EF∥PB，PB⊂平面PBG
∴EF∥平面PBG
在菱形ABCD中，DE∥BG，BG⊂平面PBG
∴DE∥平面PBG，DE∩EF=E
∴平面DEF∥平面PBG   ①
∵PG⊥平面ABCD，PG⊂平面PBG
∴平面PBG⊥平面ABCD  ②
由①②，平面DEF⊥平面ABCD