Question

已知数列{a_n}满足：a₁=，且a_n=（n≥2，n∈N^*）．
（1）求++…+的值；
（2）求证：a₁++…+≤n+-（n∈N^*）；
（3）设（n∈N^*），求证：b₁b₂…b_n＜2．

Answer

（1）把所给的式子变形可得  3（）=-1，故可得 {}是以-位首项，以为公比的等比数列，求出 =1-，从而可求 ++…+ 的值．
（2）由条件可得 =≤1+，从而得到  a1++…+≤n++=n++-，运算求出结果．
（3）由bn==，用数学归纳法证明 b1b2…bn＜2 ＜2，（n≥2），再由b1＜2，从而得出结论成立．
【解析】
（1）∵a1=，且an=（n≥2，n∈N*），∴=，=+．
∴=2+，∴3（）=-1．
故可得 {}是以-位首项，以为公比的等比数列，∴-1=- ，∴=1-．
∴++…+=n-=n-+ ．

（2）∵=1-，∴==1+≤1+，

∴a1++…+≤n++=n++-=n+-（n∈N*）．

（3）∵bn==，现用数学归纳法证明 b1b2…bn＜2 ，（n≥2）．
当n=2时，b1b2 = = =2 ．
假设当n=k （k≥2）时，b1b2…bk ＜2 ，
当 n=k+1时，b1b2…bk bk+1＜2 •． 
要证明 2 •＜2，
只需证明 3k+1•3k+1 （ 3k-1）＜3k•（3k+1-1）2，
只要证 3×3k+1  （ 3k-1）＜（3k+1-1）2，32k+2-3k+2＜32k+2-23k+1+1，
3k+2＞23k+1-1，3k+1＞-1．
而3k+1＞-1 显然成立，∴n=k+1 时，b1b2…bk bk+1＜2，
综上得 b1b2…bk bk+1＜2＜2．
又当n=1时，b1＜2，所以 b1b2…bk bk+1＜2．