Question

直线L的方程为，其中p＞0；椭圆E的中心为，焦点在X轴上，长半轴为2，短半轴为1，它的一个顶点为，问p在什么范围内取值时，椭圆上有四个不同的点，它们中的每一点到点A的距离等于该点到直线L的距离．

Answer

根据到点A的距离等于该点到直线L的距离的点的轨迹是以A为焦点的抛物线，并且轨迹方程为y2=2px．利用椭圆的几何性质得到椭圆的方程，又根据题意可得：抛物线与椭圆相交，进而得到相应的方程组有实数解，从而得出p的取值范围．
【解析】
因为椭圆上有四个不同的点到点A的距离等于该点到直线L的距离相等，
所以由抛物线的定义知：这四个不同的点在是以A为焦点的抛物线，所以点P的方程为y2=2px．
又根据题意，椭圆的方程为：（x-2-）2+4y2=4，
则联立椭圆与抛物线的方程，消去y，
可得：x2-（4-7p）x+2p+=0，此方程必有正实数根，
所以△=（4-7p）2-4（2p+）≥0，且4-7p＞0，p＞0，
解得：0＜p＜．
故p在（0，）范围内取值时，椭圆上有四个不同的点，它们中的每一点到点A的距离等于该点到直线L的距离．