Question

设α、β是方程x²-2kx+k+6=0的两个实根，则（α-1）²+（β-1）²的最小值是    ．

Answer

由判别式△大于或等于零求出k的范围，由一元二次方程根与系数的关系求得α+β=2k，αβ=k+6，代入要求的式子化简为4•-，故当k=3时，（α-1）2+（β-1）2有最小值，运算求得结果．
【解析】
∵α、β是方程x2-2kx+k+6=0的两个实根，
∴判别式△=4k2-4（k+6）=4（k-3）（k+2）≥0，解得  k≥3，或 k≤-2．
且α+β=2k，αβ=k+6，
∴（α-1）2+（β-1）2 =α2+β2-2（α+β ）+2=（α+β）2-2αβ-2（α+β ）+2=4k2-2（k+6）-2•2k+2=4•-，
故当k=3时，（α-1）2+（β-1）2有最小值是 4•-=8，
故答案为 8．