Question

已知定义在R上的函数f（x）满足：f（x+y）=f（x）+f（y），当x＜0时，f（x）＜0．
（1）求证：f（x）是奇函数；
（2）解关于x的不等式：f（mx²）-2f（x）＞f（m²x）-2f（m）．（m＞0，且m为常数）．

Answer

（1）令x=y=0可求出f（0）的值，然后令x+y=0，即y=-x可得f（-x）=-f（x），然后根据奇函数的定义进行判断即可；
（2）先根据单调性的定义证明函数的单调性，然后根据条件化简不等式得f（mx2+2m）＞f（m2x+2x），然后根据单调性建立不等式，解之即可．
（1）证明：∵f（x+y）=f（x）+f（y），
令x=y=0，得f（0）=f（0）+f（0），即f（0）=0．
令x+y=0，即y=-x，得f（0）=f（x）+f（-x），
∴f（-x）=-f（x）
∴f（x）是奇函数
（2）【解析】
设x1、x2∈R，且x1＜x2，则x1-x2＜0，由已知得f（x1-x2）＜0．
∴f（x1）-f（x2）=f（x1）+f（-x2）=f（x1-x2）＜0
∴f（x1）＜f（x2）即f（x）在R上是增函数．
又2f（m）=f（m）+f（m）=f（2m）．
同理2f（x）=f（2x）
f（mx2）-2f（x）＞f（m2x）-2f（m）
⇔f（mx2）+f（2m）＞f（m2x）+f（2x）
⇔f（mx2+2m）＞f（m2x+2x）
⇔mx2+2m＞m2x+2x
⇔mx2-（m2+2）x+2m＞0
∵m＞0，∴
∴
当，即m＞时，不等式的解集为{x|x＜或x＞m}；
当＞m，即0＜m＜时，不等式的解集为{x|x＜m或x＞}．