Question

如图，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，AB=2，AC=AD=DE=4，F为CD的中点．
（Ⅰ）求证：AF∥平面BCE；
（Ⅱ） 若∠CAD=60°，求二面角F-BE-D的余弦值．

Answer

（Ⅰ）证法一：取DE的中点M，连接AM，FM，根据线段的长度关系可得：AM∥BE，再根据中位线可得：MF∥CE，进而结合线面平行于面面平行的判定定理可得答案．
证法二：取CE的中点N，连接FN，BN，根据线段的长度关系与平行关系可得：AB∥NF，AB=NF，进而得到AF∥BN，然后根据线面平行的判定定理证明线面平行．
（Ⅱ）解法一：过F作PF⊥AD交AD于点P，作PG⊥BE，连接FG．根据三垂线定理可得：PGF就是二面角F-BE-D的平面角．再结合特征的条件把角放入三角形中，利用解三角形的有关知识解决问题．
解法二：建立空间直角坐标系，分别求出两个平面的法向量借助于向量的有关计算，求出两个向量的夹角，进而转化为二面角的平面角．
证明：（Ⅰ）证法一：如图（1），取DE的中点M，连接AM，FM，
∵AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，
∴AB∥DE．
，
∴四边形ABEM是平行四边形，
∴AM∥BE
又∵AM⊄平面BCE，BE⊂平面BCE，
∴AM∥平面BCE．
∵CF=FD，DM=ME，∴MF∥CE，
又∵MF⊄平面BCE，CE⊂平面BCE，
∴MF∥平面BCE，又∵AM∩MF=M，
∴平面AMF∥平面BCE，
∵AF⊂平面AMF，
∴AF∥平面BCE．-------（5分）
证法二：如图（2），取CE的中点N，连接FN，BN，
∵AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，
∴AB∥DE，
∵CF=FD，CN=NE，∴NF∥DE，，
又，∴AB∥NF，AB=NF，
∴四边形ABNF是平行四边形，
∴AF∥BN，又∵AF⊄平面BCE，BN⊂平面BCE，
∴AF∥平面BCE．------（5分）
（Ⅱ）解法一：如图（3）过F作PF⊥AD交AD于点P，作PG⊥BE，连接FG．
∵AB⊥平面ACD，AB⊂平面ABED，
∴平面ABED⊥平面ACD，
∴PF⊥平面ABED，∴FG⊥BE（三垂线定理）．
所以，∠PGF就是二面角F-BE-D的平面角．
由AC=AD，∠CAD=60°，知△ACD是正三角形，
在Rt△DPF中，PD=DFcos60°=1，，∴PA=3，
∴S△PBE=S梯形ABED-S△ABP-S△PDE=12-3-2=7，
∵，∴
∴在Rt△PGF中，由勾股定理，得，
∴，即二面角F-BE-D的余弦值为．----（12分）
解法二：以A为原点，分别以AC，AB为x轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系A-xyz，如图（4）所示，则A（0，0，0），B（0，0，2），，，于是，有，，，
设平面BEF的一个法向量为，则令，可得，
设平面ABED的一个法向量为，则，可得，
∴
所以，所求的二面角F-BE-D的余弦值为．------（12分）