Question

如图：过抛物线y²=4x上的点A（1，2）作切线l交x轴与直线x=-4分别于D，B．动点P是抛物线y²=4x上的一点，点E在线段AP上，满足；点F在线段BP上，满足，3λ₁+2λ₂=15且在△ABP中，线段PD与EF交于点Q．
（1）求点Q的轨迹方程；
（2）若M，N是直线x=-3 上的两点，且⊙O₁：（x+2）²+y²=1是△QMN的内切圆，试求△QMN面积的取值范围．

Answer

（1）切线AB：y=x+1，D（-1，0），B（-4，-3），=（3，3），=（2，2），=，则=，由此能求出点Q的轨迹方程．
（2）设Q（x，y）（），M（-3，m），N（-3，n），则（）．切线MQ：y-m=，由相切可得：（x+1）m2+2ym-（x+3）=0，同理（x+1）n2+2yn-（x+3）=0．由此能求出△QMN面积的取值范围．
【解析】
（1）切线AB：y=x+1，D（-1，0），
B（-4，-3），=（3，3），=（2，2），=，
则=，
令
=，
由于E，Q，F三点共线，所以，
即，
又3λ1+2λ2=15，故，Q分的定比为，
设P（x，y），Q（x，y），则，
故，得（y）
（2）设Q（x，y）（），M（-3，m），N（-3，n），
则（）
切线MQ：y-m=，
由相切可得：（x+1）m2+2ym-（x+3）=0，
同理（x+1）n2+2yn-（x+3）=0．
知m，n是方程（x+1）x2+2yx-（x+3）=0的两根
故，，

=，
令t=x+1，
则（t），
二次求导可知g′（t）＞0，
△QMN面积的取值范围．