Question

已知直四棱柱ABCD-A′B′C′D′，四边形ABCD为正方形，AA′=2AB=2，E为棱CC′的中点．
（Ⅰ）求证：A′E⊥平面BDE；
（Ⅱ）设F为AD中点，G为棱BB′上一点，且，求证：FG∥平面BDE；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下求二面角G-DE-B的余弦值．

Answer

（I）由直四棱柱的结构特征，且底面四边形ABCD为正方形，我们可得BD⊥AC，BD⊥AA'，我们结合线面垂直的判定定理可得BD⊥面ACEA'，进而BD⊥A'E，再由AA′=2AB=2，由勾股定理可得A'E⊥BE，再由线面垂直的判定定理，即可得到A′E⊥平面BDE；
（Ⅱ）以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD'为z 轴，建立空间直角坐标系，分别求出直线FG的方向向量及平面BDE的法向量，根据两个向量的数量积为0，得到两个向量垂直，进而得到FG∥平面BDE；
（Ⅲ）结合（II）中结合，再由出平面GDE的法向量，代入向量夹角公式，即可求出二面角G-DE-B的余弦值．
证明：（Ⅰ）∵四棱柱 为直四棱柱，∴BD⊥AC，BD⊥AA'，AC∩AA'=A，∴BD⊥面ACEA'．
∵A'E⊂面ACEA'，∴BD⊥A'E．∵，，，∴A'B2=BE2+A'E2．∴A'E⊥BE．又∵BD∩BE=B，∴A'E⊥面BDE．（4分）
【解析】
（Ⅱ）以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD'为z 轴，建立空间直角坐标系．
∴A'（1，0，2），E（0，1，1），，．
∵由（Ⅰ）知： 为面BDE 的法向量，，（6分）∵．∴．
又∵FG⊄面BDE，∴FG∥面BDE．（8分）
【解析】
（Ⅲ） 设平面DEG 的法向量为，则 ，．
∵，即y+z=0.，即．
令x=1，解得：y=-2，z=2，∴．（12分）∴．
∴二面角G-DE-B 的余弦值为．（14分）