Question

已知离心率为的椭圆C₁：（a＞b＞0）的左右焦点分别为F₁、F₂，椭圆C₁与抛物线C₂：y²=-x的交点的横坐标为
-2．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）如果直线l：y=kx+m与椭圆相交于P₁、P₂两点，设直线P₁F₁与P₂F₁的倾斜角分别为α，β，当α+β=π时，求证：直线l必过定点．

Answer

（1）利用椭圆的离心率的值，得到椭圆中参数的关系，利用椭圆C1与抛物线C2：y2=-x的交点的横坐标为-2，代入抛物线的方程，求出交点的坐标，代入椭圆方程求出参数值，即得到椭圆的方程．
（2）将直线的方程与椭圆的方程联立，利用韦达定理，得到交点的坐标满足的条件，将已知条件α+β=π转化为两条直线的斜率满足k1+k2=0，将斜率用坐标表示，得到 m=4k，代入直线的方程，判断出直线过定点．
【解析】
（1）由于，，a2=2b2
又因y2=-x的交点的横坐标为-2，y2=2，代入，
∴a2=8
所以椭圆方程为    
（2）联立与y=kx+m得到（2k2+1）x2+4mkx+2m2-8=0
设直线P1F1与P2F1的倾斜角分别为α，β，
当α+β=π时，若设
k1=tanα，k2=tanβ=tan（π-α）=-tanα=-k1，
∴k1+k2=0
，
k1+k2=+=
=
=
所以   m=4k
直线方程为    y=kx+4k=k（x+4），
故直线过定点 （-4，0）