Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且（n∈N^*）其中q为非零常数，函数，数列{b_n}满足b_n+1=f′（b_n），（n∈N^*），b₁=f（1），设，{b_n}的前n项和为T_n，，求A_n=c₁+c₂+…+c_n．
（Ⅰ）求证：数列{a_n}为等比数列；
（Ⅱ）当时，试比较与f（B_n）的大小，并说明理由．

Answer

（I）利用n≥2时，数列的通项an与前n项和Sn的关系可得an=qan-1，再根据等差，等比数列的定义判断即可．
（II）先求出{an}与{bn}的通项公式，从而得到{cn}的通项以及Tn，然后利用裂项求和法求出Bn，利用错位相消法求出An，再将与Bn作差比较即可．
【解析】
（Ⅰ）Sn=且q≠1
当n=1时，（1-q）S1=2-qa1⇒a1=2
当n≥2时，（1-q）Sn-（1-q）Sn-1=qan-1-qan⇒an=qan-1
∴{an}是以2为首项，公比为q的等比数列．
（Ⅱ） 当q=时，由（1）得 an=2
又 f（x）=，∴f′（x）=x+2
由bn+1=f′（bn）得bn+1=f′（bn）=bn+2
∴{bn}是以2为首项，公差为2的等差数列，
故bn=2n
∴cn=     Tn==n（n+1），
Bn=
An=c1+c2+…+cn=1•++…+…①
∴…②
①-②得∴
=
∴
∴
当n=1时，＜0
∴
当n≥2时，
令g（x）=3x+1-（2x2+5x+3）
则g′（x）=3x+1ln3-（4x+5），g∥（x）=3x+1（ln3）2-4在[2，+∞）上为单调增函数，
∴g∥（x）=3x+1（ln3）2-4≥33（ln3）2-4＞0
∴g′（x）=3x+1ln3-（4x+5）在[2，+∞）上为单调增函数，
g′（x）=3x+1ln3-（4x+5）≥33ln3-9＞27-9＞0
g（x）=3x+1-（2x2+5x+3）在[2，+∞）上为单调增函数，
∴当n≥2时，g（n）=3n+1-（2n2+5n+3）≥33-（2×4+10+3）＞0
即当n≥2时，＞0
∴当n≥2时，
又f′（x）=x+2＞0对x≥0恒成立，
∴f（x）在[0，+∞）上单调递增，
∴当n=1时f（）＜f（Bn）
当n≥2时f（）＞f（Bn）．