Question

已知长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E为AA₁上一点，平面B₁CE⊥平面BCE，AB=BC=1，AA₁=2．
（1）求平面B₁CE与平面B₁BE所成二面角α的大小；（文科只要求求tanα）
（2）求点A到平面B₁CE的距离．

Answer

（1）由长方体的几何特征可得BC⊥平面BB1E，由面面垂直的判定定理可得平面BB1E⊥平面BCE，又由平面B1CE⊥平面BCE，故B1E⊥平面BCE，则∠BEC就是平面B1CE与平面B1BE所成二面角的平面角α．解Rt△CBE可得平面B1CE与平面B1BE所成二面角α的大小
（2）利用等体积示，求三棱锥C-AEB1的体积，解Rt△B1CE，求出其面积，设A到平面B1EC的距离为h，可得答案．
【解析】
（1）∵BC⊥平面BB1E，
∴平面BB1E⊥平面BCE，
又平面B1CE⊥平面BCE，
∴B1E⊥平面BCE，
∴CE⊥B1E，BE⊥B1E
∴∠BEC就是平面B1CE与平面B1BE所成二面角的平面角α．
设∠AEB=β，则∠A1B1E=β
∴AE=ABcotβ=cotβ，
A1E=A1B1•tanβ=tanβ
∵AE+EA1=AA1=2，
∴cotβ+tanβ=2
解得tanβ=1．即AE=A1E=1
在Rt△CBE中，BC=1，BE=
∴tan．
∴
（2）在三棱锥C-AEB1中，，从而
在Rt△B1CE中，
设A到平面B1EC的距离为h，则
∵
∴
∴