Question

已知数列{a_n}的前n项和为T_n=n²-n，且a_n+2+3log₄b_n=0（n∈N^*）
（I）求{b_n}的通项公式；
（II）数列{c_n}满足c_n=a_n•b_n，求数列{c_n}的前n项和S_n；
（III）若c_n≤m²+m-1对一切正整数n恒成立，求实数m的取值范围．

Answer

（I）由Tn=n2-n，先求数列{an}的通项公式；代入到an+2+3log4bn=0（n∈N*）根据对数的运算性质化简即可求出{bn}的通项公式；
（II）把第一问求出的两数列的通项公式代入cn=an•bn中，确定出cn的通项公式，从而求数列{cn}的前n项和Sn；
（III）表示出cn+1-cn，判断得到其差小于0，故数列{cn}为递减数列，令n=1求出数列{cn}的最大值，然后原不等式的右边大于等于求出的最大值，列出关于m的一元二次不等式，求出不等式的解集即为实数m的取值范围．
【解析】
（I）由Tn=n2-n，易得an=3n-2代入到an+2+3log4bn=0（n∈N*）根据对数的运算性质化简bn=（n∈N*），
（II）cn=an•bn=，∴∴
两式相减整理得
（III）cn=an•bn=（3n-2）•∴cn+1-cn=（3n+1）•-（3n-2）•=9（1-n）•（n∈N*），
∴当n=1时，c2=c1=，
当n≥2时，cn+1＜cn，即c1=c2＞c3＞…＞cn，
∴当n=1时，cn取最大值是，又cn≤m2+m-1对一切正整数n恒成立∴m2+m-1≥，即m2+4m-5≥0，
解得：m≥1或m≤-5．