Question

已知f（x）=x²+3x+1，g（x）=+x．
（I）a=2时，求y=f（x）和y=g（x）的公共点个数；
（II）a为何值时，y=f（x）和y=g（x）的公共点个数恰为两个．

Answer

（I）a=2时，令f（x）=g（x）可得x3+x2-x-2=0（x≠1），令y=x3+x2-x-2=0 （x≠1），根据它的导数判断函数y的极值点在-1和处，且两个极值都是负数，故y=f（x）和y=g（x）的公共点只有一个．
（II）联立y=f（x）和y=g（x）得 a=x3+x2-x，且 x≠1，画出函数h（x）=x3+x2-x 的草图，求出h（x） 的极值，可得当a=时，y=a和y=h（x）恰有2个交点．
【解析】
（I）a=2时，令f（x）=g（x）可得 x2+3x+1=，整理可得 x3+x2-x-2=0 （x≠1）．
令y=x3+x2-x-2=0 （x≠1），它的导数为y′=3x2+2x-1，令y′=0，可得 x1=-1，．
故函数y的极值点在-1和处，且两个极值都是负数，故函数y与x轴的交点只有一个，故y=f（x）和y=g（x）的公共点只有一个．
（II）联立y=f（x）和y=g（x）得 x2+3x+1=+x，整理可得 a=x3+x2-x，且 x≠1．
令函数h（x）=x3+x2-x，可得函数h（x） 的极值点在-1和处，画出h（x）的草图，
当x=-1时，h（x）=1；  当x= 时，h（x）=．
故当a=1时，y=a和y=h（x）仅有一个交点，因为（1，1）不在h（x）上，不满足条件．
故当a=时，结合图象可得y=a和y=h（x）恰有2个交点．
综上，只有当a=时，才能满足y=a和y=h（x）恰有2个交点．