Question

等比数列{a_n}的前n项和为S_n，已知5S₁、2S₂、S₃成等差数列．
（Ⅰ）求{a_n}的公比q；
（Ⅱ）当a₁-a₃=3且a₁≠a₂时，求S_n．

Answer

（Ⅰ）利用等比数列的前n项和公式表示出S1，S2，S3，然后根据5S1、2S2、S3成等差数列，利用等差数列的性质列出关系式，将表示出的S1，S2，S3代入得到关于a1与q的关系式，由a1≠0，两边同时除以a1，得到关于q的方程，求出方程的解，即可得到公比q的值；
（Ⅱ）由a1≠a2，得到公比q不为1，即q=2，利用等比数列的性质化简a1-a3=3，将q值代入求出a1的值，由a1及q的值，利用等比数列的前n项和公式即可表示出Sn．
【解析】
（Ⅰ）∵5S1、2S2、S3成等差数列，
∴4S2=5S1+S3，又数列{an}为等比数列，
∴4（a1+a1q）=（5a1+a1）+（a1q+a1q2），…（3分）
整理得：a1q2-3a1q+2a1=0，
又a1≠0，∴q2-3q+2=0，
解得：q=1或q=2； …（7分）
（Ⅱ）由已知a1-a3=3，可得：a1-a1q2=3，
∵a1≠a2，∴q≠1，
∴q=2，
∴a1=-1，…（11分）
则Sn==1-2n．…（13分）