Question

某地设计修建一条26公里长的轻轨交通路线，该轻轨交通路线的起点站和终点站已建好，余下工程只需要在该段路线的起点站和终点站之间修建轻轨道路和轻轨中间站，相邻两轻轨站之间的距离均为x公里．经预算，修建一个轻轨中间站的费用为2000万元，修建x公里的轻轨道路费用为（500x²+40x）万元．设余下工程的总费用为y万元．
（Ⅰ）试将y表示成x的函数；
（Ⅱ）需要修建多少个轻轨中间站才能使y最小？其最小值为多少万元？

Answer

（I）设需要修建k个轻轨中间站，则（k+1）x=26，然后根据余下工程的总费用为修建轻轨中间站的费用与修建轻轨道路费用的和，从而可将y表示成x的函数；
（II）利用基本不等式可求出最小值，根据等号成立的条件可求出相应的x与k的值．
【解析】
（I）设需要修建k个轻轨中间站，则（k+1）x=26，即k=-1．…（2分）
∴y=2000k+（k+1）（500x2+40x）=2000×（-1）+（500x2+40x）
=+13000x-960…（5分）
因为x表示相邻两站之间的距离，则0＜x≤26．
故y与x的函数关系是y=+13000x-960（0＜x≤26）． …（6分）
（II）y=+13000x-960≥2-960=51040万元，…（9分）
当且仅当=13000x，即 x=2时取等号．
此时，k=-1=-1=12．  …（11分）
故需要修建12个轨道中间站才能使y最小，其最小值为51040万元． …（12分）