Question

设数列{a_n}的各项都为正数，其前n项和为S_n，已知对任意n∈N^*，2是a_n+2 和a_n的等比中项．
（Ⅰ）证明数列{a_n}为等差数列，并求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）证明++…+＜1；
（Ⅲ）设集合M={m|m=2k，k∈Z，且1000≤k＜1500}，若存在m∈M，使对满足n＞m 的一切正整数n，不等式2S_n-4200＞恒成立，求这样的正整数m共有多少个？

Answer

（Ⅰ）由4，且an＞0． td 当n=1时，4+2a1，解得a1=2．当n≥2时，有4Sn-1=．于是4．故（an+an-1）（an-an-1）=2（an+an-1）．由此能证明数列{an}是首项为2，公差为2的等差数列，且an=2n．
（Ⅱ）因为an=2n，则，由此能够证明++…+＜1．
（Ⅲ）由，得2n（n+1）-4200＞2n2，所以n＞2100．故M={2000，2002，…，2008，2010，2012，…，2998}．由此能够求出集合M中满足条件的正整数m的个数．
【解析】
（Ⅰ）由已知，4，且an＞0． …（1分）
当n=1时，4+2a1，解得a1=2．    …（2分）
当n≥2时，有4Sn-1=．
于是4Sn-4Sn-1=，
即4．
于是，
即（an+an-1）（an-an-1）=2（an+an-1）．
因为an+an-1＞0，
所以an-an-1=2，n≥2．
故数列{an}是首项为2，公差为2的等差数列，且an=2n．…（4分）
（Ⅱ）证明：因为an=2n，
则，…（5分）
所以=（1-）+（）+…+（）
=1-．…（7分）
（Ⅲ）由，
得2n（n+1）-4200＞2n2，所以n＞2100．  …（9分）
由题设，M={2000，2002，…，2008，2010，2012，…，2998}．
因为m∈M，所以m=2100，2102，…，2998均满足条件．…（10分）
且这些数组成首项为2100，公差为2的等差数列．
设这个等差数列共有k项，
则2100+2（k-1）=2998，解得k=450．
故集合M中满足条件的正整数m共有450个． …（12分）