Question

已知椭圆E：+=1的左焦点为F，左准线l与x轴的交点是圆C的圆心，圆C恰好经过坐标原点O，设G是圆C上任意一点．
（Ⅰ）求圆C的方程；
（Ⅱ）若直线FG与直线l交于点T，且G为线段FT的中点，求直线FG被圆C所截得的弦长；
（Ⅲ）在平面上是否存在一点P，使得=？若存在，求出点P坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）由题易知圆C的圆心为（）而a=，b=2可求出圆心为（-4，0）又圆C恰好经过坐标原点O故半径为4所以圆C的方程为（x+4）2+y2=16
（2）可利用直线FG与直线l联立求出t点坐标再利用中点坐标公式求出G（-3，yG）再代入圆C的方程求出yG进而求出FG的方程为y=（x+2），然后利用圆心到直线的距离公式求出C（-4，0）到FG的距离d=再利用勾股定理即可求出弦长的一半进而求解．

（3）假设存在P（s，t），G（x，y）使得=成立利用两点间的距离公式化简可得方程3（x2+y2）+（16+2s）x+2ty+16-s2-t2=0再结G（x，y）在圆C即x2+y2+8x=o可得（2s-8）x+2ty+16-s2-t2=0对所有的x，y0．成立
故2s-8=0，2t=0，16-s2-t2=0所以s=4，t=0即存在p（4，0）满足题意．
【解析】
（1）∵a=，b=2
∴c=2
∴左准线方程为x==-4
∴圆心为（-4，0）
∵圆C恰好经过坐标原点O故半径为4
∴圆C的方程为（x+4）2+y2=16
（2）由题意知，得G（-3，yG），代入（x+4）2+y2=16，得y=
所以FG的斜率为K=y=，FG的方程为y=（x+2）
所以C（-4，0）到FG的距离d=，直线FG被圆C截得弦长为2=7
故直线FG被圆C截得弦长为7．
（3）设P（s，t），G（x，y），则由，得，
整理得3（x2+y2）+（16+2s）x+2ty+16-s2-t2=0①
又G（x，y）在圆C：（x+4）2+y2=16上，所以x2+y2+8x=o②

②代入①得（2s-8）x+2ty+16-s2-t2=0
又G（x，y）为圆C上任意一点可知，2s-8=0，2t=0，16-s2-t2=0解得s=4，t=0．
所以在平面上存在一点p，其坐标为（4，0）．