Question

已知定义在R上的函数y=f（x）满足条件f（x+）=-f（x），且函数y=f（x-）是奇函数，给出以下四个命题：
①函数f（x）是周期函数；
②函数f（x）的图象关于点（-，0）对称；
③函数f（x）是偶函数；
④函数f（x）在R上是单调函数．
在上述四个命题中，正确命题的序号是    （写出所有正确命题的序号）

Answer

题目中条件：f（x+）=-f（x）可得f（x+3）=f（x）知其周期，利用奇函数图象的对称性，及函数图象的平移变换，可得函数的对称中心，结合这些条件可探讨函数的奇偶性，及单调性．
【解析】
对于①：∵f（x+3）=-f（x+）=f（x）∴函数f（x）是周期函数且其周期为3．①对
对于②：∵y=f（x-）是奇函数∴其图象关于原点对称
又∵函数f（x）的图象是由y=f（x-）向左平移个单位长度得到．
∴函数f（x）的图象关于点（-，0）对称，故②对．
对于③：由②知，对于任意的x∈R，都有f（--x）=-f（x），用换x，可得：f（--x）+f（x）=0
∴f（--x）=-f（x）=f（x+）对于任意的x∈R都成立．
令t=+x，则f（-t）=f（t），∴函数f（x）是偶函数，③对．
对于④：∵偶函数的图象关于y轴对称，∴f（x）在R上不是单调函数，④不对．
故答案为：①②③．