Question

函数f（x）=是定义在（-1，1）的奇函数，且f（）=．
（1）确定f（x）的解析式；
（2）判断函数在（-1，1）上的单调性；
（3）解不等式f（t-1）+f（t）＜0．

Answer

（1）若奇函数在x=0处有定义，则f（0）=0，代入即可得b，再由f（）=代入即可得a值
（2）因为函数为奇函数，故只需判断x＞0时函数的单调性即可，利用单调性定义即可证明
（3）利用函数的单调性和奇偶性将不等式中的f脱去，等价转化为关于t的不等式组，解之即可
【解析】
（1）∵函数f（x）=是定义在（-1，1）的奇函数
∴f（0）=0，即得b=0
∵f（）=．
∴，即得a=1
∴f（x）=
（2）设任意x1，x2∈（0，1），且x1＜x2
则f（x1）-f（x2）=-
=
=＜0
即f（x1）＜f（x2）
∴函数f（x）在（0，1）上为增函数
∵函数f（x）是定义在（-1，1）的奇函数
∴函数f（x）在（-1，1）上为增函数
（3）不等式f（t-1）+f（t）＜0
⇔f（t-1）＜-f（t）
⇔f（t-1）＜f（-t）  （根据奇函数的性质）
⇔  （根据定义域和单调性）
⇔0＜t＜