Question

已知函数f（x）=ax³+bx²-3x在x=±1处取得极值
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求证：对于区间[-1，1]上任意两个自变量的值x₁，x₂，都有|f（x₁）-f（x₂）|≤4；
（3）若过点A（1，m）（m≠-2）可作曲线y=f（x）的三条切线，求实数m的范围．

Answer

（1）解析式中有两个参数，故需要得到两个方程求参数，由于函数f（x）=ax3+bx2-3x在x=±1处取得极值，由极值存在的条件恰好可以得到两个关于参数的两个方程，由此解析式易求．
（2）欲证对于区间[-1，1]上任意两个自变量的值x1，x2，都有|f（x1）-f（x2）|≤4，可以求出函数在区间[-1，1]上的最值，若最大值减去最小值的差小于等于4，则问题得到证明，故问题转化为研究函数在区间[-1，1]上的单调性求最值的问题．
（3）由于点A（1，m）（m≠-2），验证知此点不在函数图象上，可设出切点坐标M（x，y），然后用两种方式表示出斜率，建立关于切点横坐标的方程2x3-3x2+m+3=0，再借助函数的单调性与极值确定其有三个解的条件即可．
【解析】
（1）f′（x）=3ax2+2bx-3，依题意，f′（1）=f′（-1）=0，解得a=1，b=0．
∴f（x）=x3-3x
（2）∵f（x）=x3-3x，∴f′（x）=3x2-3=3（x+1）（x-1），
当-1＜x＜1时，f′（x）＜0，故f（x）在区间[-1，1]上为减函数，
fmax（x）=f（-1）=2，fmin（x）=f（1）=-2
∵对于区间[-1，1]上任意两个自变量的值x1，x2，
都有|f（x1）-f（x2）|≤|fmax（x）-fmin（x）|
|f（x1）-f（x2）|≤|fmax（x）-fmin（x）|=2-（-2）=4
（3）f′（x）=3x2-3=3（x+1）（x-1），
∵曲线方程为y=x3-3x，∴点A（1，m）不在曲线上．
设切点为M（x，y），切线的斜率为（左边用导数求出，右边用斜率的两点式求出），
整理得2x3-3x2+m+3=0．
∵过点A（1，m）可作曲线的三条切线，故此方程有三个不同解，下研究方程解有三个时参数所满足的条件
设g（x）=2x3-3x2+m+3，则g′（x）=6x2-6x，
由g′（x）=0，得x=0或x=1．
∴g（x）在（-∞，0），（1，+∞）上单调递增，在（0，1）上单调递减．
∴函数g（x）=2x3-3x2+m+3的极值点为x=0，x=1
∴关于x方程2x3-3x2+m+3=0有三个实根的充要条件是，解得-3＜m＜-2．
故所求的实数a的取值范围是-3＜m＜-2．