Question

已知函数，无穷数列{a_n}满足a_n+1=f（a_n）（n∈N^*）．
（1）求a₁的值使得{a_n}为常数列；
（2）若a₁＞2，证明：a_n＞a_n+1；
（3）若a₁=3，求证：．

Answer

（1）设出常数列，通过函数关系求出求a1的值，即可使得{an}为常数列；
（2）利用函数的单调性，通过a1＞2，说明an＞2，通过an+1=f（an）分解因式，即可证明：an＞an+1；
（3）若a1=3，通过放缩法，结合（2）推出an；＞，通过等比数列求和即可证明．
【解析】
（1）设an=m，则，
∴m=1或m=2，
经验证，当a1=1或2时{an}为常数列；…（3分）
（2）因为函数，在x＞2时，函数是增函数，
∵a1＞2，a2＞a1＞2，
∴an＞2，
∵an2-an+12=an2-3an+2=（an-1）（an-2）＞0，
则an＞an+1；
（3），
由（2）知an＞2，．…（12分）