Question

已知A、B、C、D四个城市，它们各自有一个著名的旅游点，依次记为a，b，c，d，把A，B，C，D和a，b，c，d左、右两列．现在一名旅游爱好者随机用4条线把城市与旅游点全部连接起来，构成“一一对应”规定某城市与自身的旅游点相连称为“连对”否则称为“连错”，连对一条得2分，连错一条得0分．
（I）求该旅游爱好者得2分的概率；
（II）求所得分数ξ的分布列和数学期望．

Answer

（I）随机用4条线把城市与旅游点全部连接起来的全排列为，该旅游爱好者得2分有种情形，最后根据古典概率的概率公式解之即可；
（II）ξ的可能取值为0，2，4，8，然后根据古典概型的概率计算公式求出相应的概率，列出分布列，最后利用数学期望公式解之即可．
【解析】
（I）随机用4条线把城市与旅游点全部连接起来的全排列为，
该旅游爱好者得2分有种情形
∴该爱好者得2分的概率为P==
（II）答对题的个数为y，得分为ξ，ξ的可能取值为0，2，4，8
P（ξ=0）==，P（ξ=2）==
P（ξ=4）==，P（ξ=8）==
ξ的分布列为

ξ 2 4 8
P

∴ξ的数学期望为Eξ=0×+2×+4×+8×=2