Question

已知数列{a_n}满足a₁=a，．
（Ⅰ）试判断数列是否为等比数列？若不是，请说明理由；若是，试求出通项a_n．
（Ⅱ）如果a=1时，数列{a_n}的前n项和为S_n．试求出S_n，并证明（n≥3）．

Answer

（Ⅰ）由=，知．令，则bn+1=2bn．由此能够求出．
（Ⅱ）当a=1时，an=（2n+1）•2n-1-2，Sn=3+5•2+7•22+…+（2n+1）•2n-1-2n．令Tn=3+5•2+7•22+…+（2n+1）•2n-1，则2Tn=3•2+5•22+…+（2n-1）•2n-1+（2n+1）•2n，再由错位相减法和裂项求和法进行求解．
【解析】
（Ⅰ）∵=，
∴．
令，则bn+1=2bn．  …2分
∵，
∴当a=-2时，b1=0，则bn=0．
∵数列{0}不是等比数列．
∴当a=-2时，数列不是等比数列．…4分
当a≠-2时，b1≠0，则数列是等比数列，且公比为2．
∴bn=b1•2n-1，
即．
解得．      …6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当a=1时，an=（2n+1）•2n-1-2，
Sn=3+5•2+7•22+…+（2n+1）•2n-1-2n．
令Tn=3+5•2+7•22+…+（2n+1）•2n-1，…①
则2Tn=3•2+5•22+…+（2n-1）•2n-1+（2n+1）•2n，…②
由①-②：-Tn=3+2（2+22+…+2n-1）-（2n+1）•2n
=
=（1-2n）•2n-1，
∴Tn=（2n-1）•2n+1，…9分
则Sn=Tn-2n=（2n-1）（2n-1）．             …10分
∵2n=Cn+Cn1+…+Cnn-1+Cnn，
∴当n≥3时，2n≥Cn+Cn1+Cnn-1+Cnn=2（n+1），则2n-1≥2n+1．…12分
∴Sn≥（2n-1）（2n+1），
则．…13分
因此，=． …14分．