Question

已知函数f（x）=sin2xcosφ+2cos²x•sinφ-sinφ（0＜φ＜π）在处取得最值．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期及φ的值；
（Ⅱ）若数列是首项与公差均为的等差数列，求f（x₁）+f（x₂）+…+f（x₂₀₁₁）的值．

Answer

（Ⅰ）把函数解析式的后两项提取sinφ后，利用二倍角的余弦函数公式变形，再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，根据题意及正弦函数单调性得到这个角等于kπ+，求出φ的值，然后找出ω的值，代入周期公式即可求出函数的最小正周期；
（Ⅱ）由数列是首项与公差均为的等差数列，写出此等差数列的通项公式，根据通项公式得到f（x1）+f（x2）+f（x3）+f（x4）=0，又y=cos的周期为4，由2011除以4，余数为3，从而得到所求的式子等于f（x1）+f（x2）+f（x3）的值，分别令n=1，2，3求出f（x1），f（x2）及f（x3）的值，即可得到所求式子的值．
（本题满分为13分）．
【解析】
（Ⅰ）f（x）=sin2xcosφ+（2cos2x-1）•sinφ
=sin2xcosφ+cos2xsinφ=sin（2x+φ），（3分）
由已知得π+φ=kπ+，k∈Z，又0＜φ＜π，
∴φ=，（5分）
∴f（x）=sin（2x+）=cos2x，
∴ω=2，
则T==π．（7分）

（Ⅱ）由已知得xn=，（8分）
∴f（x1）+f（x2）+f（x3）+f（x4）=0，（10分）
又∵y=cos的周期为4，
∴f（x1）+f（x2）+…+f（x2010）+f（x2011）
=f（x2009）+f（x2010）+f（x2011）
=f（x1）+f（x2）+f（x3）
=cos
=-1．（13分）