Question

如图，矩形ABCD所在的平面与平面AEB垂直，且∠BAE=120°，AE=AB=4，AD=2，F，G，H分别为BE，AE，BC的中点．
（Ⅰ） 求证：直线DE与平面FGH平行；
（Ⅱ）若点P在直线GF上，且二面角D-BP-A的大小为，试确定点P的位置．

Answer

（Ⅰ）要证明线与面平行，可以先找线与线平行，即在平面FGH内找一条直线与直线DE平行，故取AD得中点M，连接GM即可
（Ⅱ）建立空间直角坐标系，写出相关点的坐标，利用法向量表示二面角的大小，特别注意利用点P在直线GF上的特点，设出动点P的坐标．
【解析】
（Ⅰ）证明：取AD的中点M，连接MH，MG．
∵G，H，F分别是AE，BC，BE的中点，
∴MH∥AB，GF∥AB，
∴MH∥GF，即GFHM四点共面
又由M，G是中点，可得MG∥DE
因为DE⊄平面MGFH，MG⊂平面MGFH，
∴DE∥平面MGFH，即直线DE与平面FGH平行．
（Ⅱ）【解析】
如图，在平面ABE内，过A作AB的垂线，记为AP，则AP⊥平面ABCD．
以A为原点，AP、AB、AD所在的直线分别为x轴，y轴，z轴建立建立空间直角坐标系A-xyz．．
∴，，． 
设，则．
设平面PBD的法向量为1=（x，y，z），
则∴
取，得，x=5-2λ，
∴．
又平面ABP的法向量为2=（0，0，1），
∴
解得λ=1或4．
故或
∴或