Question

已知函数f（x）=ax²+bx+c+4lnx的极值点为1和2．
（Ⅰ）求实数a，b的值；
（Ⅱ）试讨论方程f（x）=3x²根的个数；
（Ⅲ）设h（x）=f（x）-+x，斜率为k的直线与曲线y=h（x）交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）（x₁＜x₂）两点，试比较与的大小，并给予证明．

Answer

（Ⅰ）因为函数极值点是在函数的导数等于0时得到，所以，对函数f（x）求导，把x=1和x=2代入导数，等于0，就可求出a，b的值．
（Ⅱ）由f（x）=3x2得x2-6x+c+4lnx=3x2，c=2x2+6x-4lnx，设g（x）=2x2+6x-4lnx，x∈（0，+∞）．要求方程f（x）=3x2根的个数，也即求g（x）与x轴交点个数，利用导数可得．
（Ⅲ）把f（x）=3x2代入h（x）=f（x）-+x，因为斜率为k的直线与曲线y=h（x）交于A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＜x2）两点，所以可用A，B点坐标表示k，这样，k就与用相同参数表示，再利用对数函数的单调性，就可证明．
【解析】
（Ⅰ），x∈（0，+∞），
由y=f（x）的极值点为1和2，
∴2ax2+bx+4=0的根为1和2，
∴解得
（Ⅱ）由f（x）=3x2得x2-6x+c+4lnx=3x2，c=2x2+6x-4lnx，设g（x）=2x2+6x-4lnx，x∈（0，+∞）.，
当x变化时，g'（x）与g（x）的变化情况如下表：

x
g'（x） - +
g（x） 单调递减 单调递增

由此得，函数y=g（x）的单调减区间为，单调增区间为．
∴，
且当x正向趋近于0时，g（x）趋近于+∞，
当x趋近于+∞时，g（x）趋近于+∞．
∴当时，方程只有一解；
当时，方程有两解；
当时，方程无解．
（Ⅲ）．
证明：由（Ⅰ）得f（x）=x2-6x+c+4lnx，
∴，x2＞x1＞0．
要证，即证，
只需证，（因为）
即证．只需证．（*）
设（x＞1），∵，
∴φ（x）在（1，+∞）单调递增，φ（x）＞φ（1）=0，
∴不等式（*）成立．
∴．