Question

在四面体ABCD中，已知AB=CD=5，AC=BD=5，AD=BC=6．则四面体ABCD的体积为    ；四面体ABCD外接球的面积为    ．

Answer

由已知中四面体ABCD中，已知AB=CD=5，AC=BD=5，AD=BC=6，我们易计算出底面BCD的面积，从A向BC作高，垂足E，解三角形AED可以求出sin∠AED，进而计算出底面BCD上的高，代入棱锥体积公式，四面体ABCD的体积，再由对等四面体外接球半径公式，求出四面体ABCD外接球的半径，代入球的表面积公式，即可求出四面体ABCD外接球的面积．
【解析】
从A向BC作高，垂足E，由等腰三角形、勾股定理得AE=DE=4
由余弦定理cos∠AED=，
∴∠AED是钝角
∴sin∠AED=
∴四面体ABCD的体积V===
∵四面体ABCD的外接球半径R==
∴四面体ABCD外接球的面积S=4πR2=43π
故答案为：，43π