Question

已知函数f（x）=x²（x-3a）+（a＞0，x∈R）．
（Ⅰ）求函数y=f（x）的极值；
（Ⅱ）若函数y=f（x）有三个不同的零点，求实数a的取值范围．

Answer

（Ⅰ）先求导函数，确定函数的单调区间，从而确定函数的极值；
（Ⅱ）要使函数f（x）=0有三个不同的零点，必须．从而求出参数的范围．
【解析】
当f'（x）=3x（x-2a）．（2分）
令f'（x）=0，得x=0，或x=2a．且，．（6分）
（Ⅰ）当a＞0时，2a＞0．
当x变化时，函数在（-∞，0）增函数，在（0，2a）上单调减，在（2a，+∞）上单调增（8分）
∴当a＞0时，在x=0处，函数f（x）有极大值；在x=2a处，函数f（x）有极小值．（10分）
（Ⅱ）要使函数f（x）=0有三个不同的零点，必须．（12分）
解得．∴当时，函数y=f（x）有三个不同的零点．（14分）