Question

已知点（x，y）在椭圆C：（a＞b＞0）的第一象限上运动．
（Ⅰ）求点的轨迹C₁的方程；
（Ⅱ）若把轨迹C₁的方程表达式记为y=f（x），且在内y=f（x）有最大值，试求椭圆C的离心率的取值范围．

Answer

（I）欲求点的轨迹C1的方程，设，只须求出x，y的关系式即可，利用点（x，y）在椭圆C：（a＞b＞0）的第一象限上运动，点的坐标适合方程，即可得到x，y的关系式；
（II）由轨迹C1方程是（x＞0，y＞0），得（x＞0）．利用基本不等式求出f（x）的最大值，及取得最大值的条件得出关于a，c的不等关系，即可求得椭圆C的离心率的取值范围．
【解析】
（Ⅰ）设点（x，y）是轨迹C1上的动点，∴（2分）
∴xy=y2，．
∵点（x，y）在椭圆C：（a＞b＞0）的第一象限上运动，则x＞0，y＞0．
∴．
故所求的轨迹C1方程是（x＞0，y＞0）．（6分）
（Ⅱ）由轨迹C1方程是（x＞0，y＞0），得（x＞0）．
∴≤．
所以，当且仅当，即时，f（x）有最大值．（10分）
如果在开区间内y=f（x）有最大值，只有．（12分）
此时，，解得．
∴椭圆C的离心率的取值范围是．（14分）