Question

已知正项数列{a_n}的前n项和，．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）定理：若函数f（x）在区间D上是凹函数，且f'（x）存在，则当x₁＞x₂（x₁，x₂∈D）时，总有，请根据上述定理，且已知函数y=xⁿ⁺¹（n∈N*）是（0，+∞）上的凹函数，判断b_n与b_n+1的大小；
（Ⅲ）求证：．

Answer

（Ⅰ）先利用an与Sn关系式变形得到an-an-1=1．所以数列{an}是以1为首项，1为公差的等差数列．即可求出an=n
（Ⅱ）先求出bn，可令，再根据凹函数的定义得x1n＜x2n+1，即bn＜bn+1．
（Ⅲ）利用放缩法可证明，即先证明，，再利用（2）中的结论bn＜bn+1．可证得．
【解析】
（Ⅰ）n=1时，或a1=1．
由于{an}是正项数列，所以a1=1．
当n≥2时，，
整理，得an+an-1=（an+an-1）（an-an-1）．
由于{an}是正项数列，∴an-an-1=1．
∴数列{an}是以1为首项，1为公差的等差数列．
从而an=n，当n=1时也满足．
∴an=n（n∈N*）．（4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知．
对于（0，+∞）上的凹函数y=xn+1，有y'=（n+1）xn．
根据定理，得．（6分）
整理，得x1n[（n+1）x2-nx1]＜x2n+1．
令，得（n+1）x2-nx1=1．（8分）
∴x1n＜x2n+1，即．
∴bn＜bn+1．（10分）
（Ⅲ）∵，
∴．
又由（Ⅱ），得．
（或．）
∴．（14分）