Question

如图，已知ABCD是正方形，DE⊥平面ABCD，BF⊥平面ABCD，且AB=FB=2DE．
（Ⅰ）求证：平面AEC⊥平面AFC；
（Ⅱ）求直线EC与平面BCF所成的角；
（Ⅲ）问在EF上是否存在一点M，使三棱锥M-ACF是正三棱锥？若存在，试确定M点的位置；若不存在，说明理由．

Answer

（I）以D为坐标原点，DA，DC，DE分别为X，Y，Z轴正言论自由建立空间直角坐标系，分别求出各点坐标，进而求出平面AEC和平面AFC的法向量的坐标，代入向量夹角公式，根据两个法向量的数量积为0，即可得到平面AEC⊥平面AFC；
（II）求出直线EC的方向向量及平面BCF的法向量，代入向量夹角公式，即可得到直线EC与平面BCF所成的角；
（Ⅲ）在EF上存在满足FM=2ME一点M，使M-ACF是正三棱锥，由已知可得ACF是一个正三角形，只须M在平面ACF上的投影，为三角形ACF的中心即可．
证明：（I）建立如图坐标系，令AB=FB=2DE=2
∴D（0，0，0），E（0，0，1），A（2，0，0），C（0，2，0），F（2，2，2）
∴，
设 为面AEC法向量 
则，
设 为面AFC法向量 
则
∴
∴．
∴面AEC⊥面AFC．
（Ⅱ）∵，，
设平面FBC的法向量为=（a，b，c）
则⊥，且⊥，
即，令b=1
则=（0，1，0）
设直线EC与平面BCF所成的角为θ
则sinθ===
即直线EC与平面BCF所成的角为arcsin
（Ⅲ）在EF上存在满足FM=2ME一点M，使M-ACF是正三棱锥
作法：题意知△ACF是正三角形，
顶点M在ACF上的射影是△ACF的中心N
正方形的中心（即AC与BD的交点）为O，
则点N一定在OF上，且FN=2ON，
在平面EOF中过N作NM∥OE交EF于点M，
则该点为所求