Question

已知数列{b_n}中，，b_n+1b_n=b_n+2．数列{a_n}满足：
（Ⅰ）求证：a_n+1+2a_n+1=0；
（Ⅱ） 求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅲ） 求证：（-1）b₁+（-1）²b₂+…+（-1）ⁿb_n＜1（n∈N^*）

Answer

（Ⅰ） 由已知，得出，移向整理即可．
（Ⅱ）在（Ⅰ） 的基础上，构造出，通过求出的通项公式，得出{an}的通项公式．
（Ⅲ）由上应得出，考虑到（-1）n的取值，宜相邻两项结合，借助放缩法寻求解决．
证明：（Ⅰ），移向整理得an+1+2an+1=0
【解析】
（Ⅱ）∵an+1=-2an-1∴
又 ∴为等比数列
∴∴
证明：（Ⅲ）∴
①当n为奇数时（-1）nbn+（-1）n+1bn+1==
（-1）b1+（-1）2b2+…+（-1）nbn=
 ②当n为偶数时，（-1）b1+（-1）2b2+…+（-1）nbn
综上所述，（-1）b1+（-1）2b2+…+（-1）nbn＜1