Question

已知函数和点P（1，0），过点P作曲线y=f（x）的两条切线PM、PN，切点分别为M、N．
（Ⅰ）设|MN|=g（t），试求函数g（t）的表达式；
（Ⅱ）是否存在t，使得M、N与A（0，1）三点共线．若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
（Ⅲ）在（Ⅰ）的条件下，若对任意的正整数n，在区间内总存在m+1个实数a₁，a₂，…，a_m，a_m+1，使得不等式g（a₁）+g（a₂）+…+g（a_m）＜g（a_m+1）成立，求m的最大值．

Answer

（I）设出M、N两点的横坐标分别为x1、x2，对函数求导得到切线的斜率，写出切线的方程，根据切线过一个点，得到一个方程，根据根与系数的关系写出两点之间的长度，得到函数的表示式．
（II）根据三点共线写出其中两点连线的斜率相等，整理出最简单形式，把上一问做出的结果代入，求出t的值．
（III）根据前面做出的函数只一个增函数，写出不同的自变量对应的函数值的不等关系，根据对于任意的正整数都成立，得到m的取值范围，得到最值．
【解析】
（Ⅰ）设M、N两点的横坐标分别为x1、x2，
∵，
∴切线PM的方程为：，
又∵切线PM过点P（1，0），∴有，
即x12+2tx1-t=0，（1）
同理，由切线PN也过点P（1，0），得x22+2tx2-t=0．（2）
由（1）、（2），可得x1，x2是方程x2+2tx-t=0的两根，∴（*）
=，
把（*）式代入，得，
因此，函数g（t）的表达式为．
（Ⅱ）当点M、N与A共线时，kMA=kNA，
∴=，即=，
化简，得（x2-x1）[t（x2+x1）-x1x2]=0
∵x1≠x2，∴t（x2+x1）=x2x1．（3）
把（*）式代入（3），解得．
∴存在t，使得点M、N与A三点共线，且．
（Ⅲ）知g（t）在区间上为增函数，
∴（i=1，2，，m+1），
则．
依题意，不等式对一切的正整数n恒成立，
，
即对一切的正整数n恒成立．
∵，∴，
∴．由于m为正整数，∴m≤6．
又当m=6时，存在a1=a2═am=2，am+1=16，对所有的n满足条件．
因此，m的最大值为6．