Question

己知在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且tanC=
（I ）求角C大小；
（II）当c=1时，求a²+b²的取值范围．

Answer

（I ） 利用锐角△ABC中，sinC=，求出角C的大小．
（II）先求得 B+A=150°，根据B、A都是锐角求出A的范围，由正弦定理得到a=2sinA，b=2sinB=2sin（A+30°），根据 a2+b2=4+2sin（2A-60°） 及A的范围，得（2A-60°），从而得到a2+b2的范围．
【解析】
（I ）由已知及余弦定理，得tanC===，
∴sinC=，故锐角C=．
（II）当C=1时，∵B+A=150°，∴B=150°-A．由题意得，
∴60°＜A＜90°．由 =2，得 a=2sinA，b=2sinB=2sin（A+30°），
∴a2+b2=4[sin2A+sin2（A+30°）]=4[+]=4[1-cos2A-（cosA-sin2A）]=4+2sin（2A-60°）．
∵60°＜A＜90°，∴（2A-60°）．
∴7＜a2+b2≤4+2．