Question

已知数列{a_n}中，a₁=1，a_na_n+1=2ⁿ（n∈N^*）
（1）求数列{a_n}的前2n项之和S_2n
（2）若3（1-ka_2n）≤S_2n•a_2n对任意n∈N^*恒成立，求k的最小值．

Answer

（1）由anan+1=2n，知anan-1=2n-1，两式相比：，数列{an}的奇数项成等比数列，偶数项成等比数列，由此能求出S2n．
（2）由3（1-ka2n）≤S2n•a2n对任意n∈N*恒成立，知3（1-ka2n）≤3（2n-1）a2n，再由a2n=2n，k≥=，由F（n）=单调递减能求出k的最小值．
【解析】
（1）∵anan+1=2n，
∴anan-1=2n-1，
两式相比：，
∴数列{an}的奇数项成等比数列，偶数项成等比数列，
∵）
∴a1=1，a2=2，
∴S2n=+
=3×2n-3．
（2）∵3（1-ka2n）≤S2n•a2n对任意n∈N*恒成立，
∴3（1-ka2n）≤3（2n-1）a2n，
∵a2n=2n，
∴k≥
=，
F（n）=单调递减，所以n=1时F（1）=-，
∴K≥-，
故k的最小值是-．