Question

已知函数f（x）=xlnx，g（x）=-x²+ax-3，其中a为实数．
（1）设t＞0为常数，求函数f（x）在区间[t，t+2]上的最小值；
（2）若对一切x∈（0，+∞），不等式2f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围．

Answer

（1）求出f'（x）=lnx+1，利用导数与单调性的关系，分类求解
（2））由已知，2xlnx≥-x2+ax-3，分离参数，则，构造 通过研究h（x）的最值确定a的范围．
解答：（1）f'（x）=lnx+1，
当单调递减，当单调递增
①，没有最小值；
②，即时，；
③，即时，f（x）在[t，t+2]上单调递增，f（x）min=f（t）=tlnt；（5分）
所以
（2）由已知，
2xlnx≥-x2+ax-3，则，
设，则，
①x∈（0，1），h'（x）＜0，h（x）单调递减，
②x∈（1，+∞），h'（x）＞0，h（x）单调递增，
所以h（x）min=h（1）=4，对一切x∈（0，+∞），2f（x）≥g（x）恒成立，
所以a≤h（x）min=4；