Question

已知AC，BD为圆O：x²+y²=4的两条互相垂直的弦，垂足为．则四边形ABCD的面积的取值范围是    ．

Answer

设圆心到AC、BD的距离分别为d1、d2，则 d12+d22 =3，代入面积公式s=AC×BD，使用基本不等式求出四边形ABCD的面积的最大值．通过面积公式化简，利用不等式的基本性质，求出表达式的最小值，得到四边形面积的范围．
【解析】
如图
连接OA、OD作OE⊥AC OF⊥BD垂足分别为E、F
∵AC⊥BD
∴四边形OEMF为矩形
已知OA=OC=2  OM=，
设圆心O到AC、BD的距离分别为d1、d2，
则d12+d22=OM2=3．
四边形ABCD的面积为：s=•|AC|（|BM|+|MD|），
从而：
，
（当且仅当d12 =d22时取等号．）
又，==≥4．
四边形ABCD的面积的取值范围是：[4，5]．
故答案为：[4，5]．