Question

如图，设三棱锥O-ABC的三条侧棱OA，OB，OC两两垂直，三个侧面与底面所成的二面角O-AB-C，O-BC-A，O-CA-B分别等于α₁，α₂，α₃．记△OAB，△OBC，△OCA，△ABC的面积分别为S₁，S₂，S₃，S，则下列四个命题：（1）S_i=Scosα_i（i=1，2，3）（2）若∠BAO=∠CAO=45°，则∠BAC=60°（3）S²=S₁²+S₂²+S₃²．（4）α₁，α₂，α₃的取值可以分别是30°，45°，60°．
其中正确命题的序号是    （填上所有正确命题的序号）

Answer

由题设知，（i=1，2，3），所以Si=Scosαi（i=1，2，3）；由∠BAO=∠CAO=45°，知cos∠BAC=cos45°•cos45°=，所以∠BAC=60°；设OA=a，OB=b，OC=c，H为垂心，故AD⊥BC，由OA、OB、OC两两垂直，知S12+S22+S32=（ a2 b2+b2 c2+a2 c2）= a2（b2+c2）+ b2 c2，由此能导出S12+S22+S32=（b2+c2）•AD2=BC2•AD2=S2；α1，α2，α3的取值不可以分别是30°，45°，60°．
【解析】
由题设知，（i=1，2，3），
∴Si=Scosαi（i=1，2，3），
故（1）成立；
∵∠BAO=∠CAO=45°，∴cos∠BAC=cos45°•cos45°=，
∴∠BAC=60°，
故（2）成立；
如图
设OA=a，OB=b，OC=c，
∵H为垂心∴AD⊥BC，
又∵OA、OB、OC两两垂直，
∴S1=，S2= bc，S3=ac  S=BC•AD，
∴S12+S22+S32=（ a2 b2+b2 c2+a2 c2）= a2（b2+c2）+ b2 c2…①
又∵在Rt△BOC中，OD⊥BC，
∴OB2•OC2=b2 c2=OD2•BC2=OD2•（b2+c2）…②
∴②代入①得：S12+S22+S32=（b2+c2）•AD2=BC2•AD2=S2．
故（3）成立．
α1，α2，α3的取值不可以分别是30°，45°，60°．
故（4）不成立．
故答案为：（1）（2）（3）．