Question

A、B是治疗同一种疾病的两种药，用若干试验组进行对比试验．每个试验组由4只小白鼠组成，其中2只服用A，另2只服用B，然后观察疗效．若在一个试验组中，服用A有效的小白鼠的只数比服用B有效的多，就称该试验组为甲类组．设每只小白鼠服用A有效的概率为，服用B有效的概率为．
（Ⅰ）求一个试验组为甲类组的概率；
（Ⅱ）观察3个试验组，用ξ表示这3个试验组中甲类组的个数，求ξ的分布列和数学期望．

Answer

（1）由题意知本题是一个独立重复试验，根据所给的两种药物对小白鼠有效的概率，计算出小白鼠有效的只数的概率，对两种药物有效的小白鼠进行比较，得到甲类组的概率．
（2）由题意知本试验是一个甲类组的概率不变，实验的条件不变，可以看做是一个独立重复试验，所以变量服从二项分布，根据二项分布的性质写出分布列和期望．
【解析】
（1）设Ai表示事件“一个试验组中，服用A有效的小鼠有i只“，i=0，1，2，
Bi表示事件“一个试验组中，服用B有效的小鼠有i只“，i=0，1，2，
依题意有：P（A1）=2××=，P（A2）=×=．P（B）=×=，
P（B1）=2××=，所求概率为：
P=P（B•A1）+P（B•A2）+P（B1•A2）
=×+×+×=
（Ⅱ）ξ的可能值为0，1，2，3且ξ～B（3，）．
P（ξ=0）=（）3=，
P（ξ=1）=C31××（）2=，
P（ξ=2）=C32×（）2×=，
P（ξ=3）=（）3=
∴ξ的分布列为
∴数学期望Eξ=3×=．