Question

数列{a_n}的前n项和为S_n，已知n≥2时，S_n=n²（S_n-S_n-1）-n（n-1）．
（1）求S_n关于n的表达式；
（2）设的大小，并予以证明．

Answer

（1）将Sn=n2（Sn-Sn-1）-n（n-1）移向构造得出．判断出是首项为1，公差为1的等差数列，通项公式即为所求．
（2）由（1）可得出．利用错位相消法求出Tn，再去比较．
【解析】
（1）当n≥2时，Sn=n2（Sn-Sn-1）-n（n-1）．即（n2-1）Sn-n2Sn-1=n（n-1）．
于是．
∴是首项为1，公差为1的等差数列．从而．…（6分）
（2）．则，
．…（9分）
∴．
显然：当n=1，2时，有．
当n≥3时，由2n=Cn+Cn1+Cn2+…+Cnn-1+Cnn≥Cn+Cn1+Cnn-1+Cnn=2n+2＞2n+1
∴当n≥3时，有．…..（12分）