Question

三棱柱ABC-A′B′C′中，点D为BC的中点，点O在AD的延长线上，且AD=DO，C′O⊥平面ABOC，AB⊥AC，AB=AC=OC′=1．
（1）判断直线AA′与BC是否垂直，并说明理由；
（2）求BB′与平面BOC′所成的角；
（3）若的大小为的值．

Answer

（1）由题意可得：建立以直线OC、OB、OC'分别为x、y、z轴的空间直角坐标系，分别求出两条直线所在的向量，再求出两个向量的数量积进而可以判断两条直线设法垂直．
（2）求出平面的法向量以及直线BB′所在的向量，进而利用向量的有关运算求出线面角．
（3）设E（x，y，z），根据向量关系求出点E的坐标，再求出平面AEC'的法向量与平面AOC'的法向量，然后结合二面角E-AC'-O的大小为，即可求出λ的值．
【解析】
（1）由题意可得：建立以直线OC、OB、OC'分别为x、y、z轴的空间直角坐标系，
则B（0，1，0），O（0，0，0），C'（0，0，1），C（1，0，0），
所以，，
所以≠0，
∴直线AA'与BC不垂直…（3分）
（2）设平面BOC'的一个法向量为，，
∴，
∴
∴BB'与平面BOC'所成的角等于…（6分）
（3）设E（x，y，z），因为，并且，
所以
∴，…（8分）
设平面AEC'的法向量为，
所以，
因为，
所以．
由，并且，所以可得x′+y′-z′=0．
∴当x'=λ-1时，y'=1+λ，z'=2λ，，
因为平面AOC'的一个法向量为，二面角E-AC'-O的大小为
所以，
可得，
因为0＜λ＜1，
所以…（12分）