Question

如图，已知P是焦距为上一点，过P的直线与双曲线C的两条渐近线分别交于点P₁，P₂，且为坐标原点．
（1）试求当取得最大值时，双曲线C的方程；
（2）设满足条件（1）的双曲线C的两个顶点为A₁，A₂，直线l过定点D（3，0），且与双曲线交于M，N两点（M不为顶点），求证：直线A₁M，A₂N的交点的横坐标为定值．

Answer

（1）先设P（x，y），P1（x1，y1），P2（x2，y2）．代入，找到坐标之间的关系，再把用含三点坐标的式子表示，求范围，根据范围找最大值时对应的a，b，即可得到当取得最大值时，双曲线C的方程．
（2）先设直线l的方程，M，N点坐标，把直线方程代入（1）中所求双曲线C的方程中，求M，N的纵坐标的和与积，再利用两点式求出A1M，A2M的方程，联立，求交点，再验证交点横坐标是否为定值．
【解析】
（1）设P（x，y），P1（x1，y1），P2（x2，y2）．由，得，
∵点P在双曲线上，则
又∵P1，P2在渐近线上．
∴，则=
又a2+b2=c2=8，a2+b2≥2ab，．
当且仅当a=b=2时，S有最大值．所以双曲线C的方程为：x2-y2=4．
（2）设直线l的方程为x-3=ky，M（x3，y3），N（x4，y4）．有
∴（k2-1）y2+6ky+5=0（k2-1≠0）．
则∴
A1M的方程为的方程为 
直线A1M，A2N的交点H的横坐标xH满足：
化简得：（x4y3+2y3-x3y4+2y4）xH=2x4y3+4y3+2x3y4-4y4
即：[2（y3+y4）+3（y3-y4）]xH=[4ky3y4+6（y3+y4）+4（y3-y4）]．
故A1M，A2N的交点H在直线．