Question

已知函数f（x）=lnx--2x（a≠0）．
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）设函数f（x）有极值点x，证明：f（x）≤-；
（3）若方程f（x）=3有两个不相等的实根x₁，x₂，且x₁＜x₂，证明：f'（）≠0．（f'（x）为f（x）的导函数）

Answer

（1）先求导函数，由于函数的定义域为（0，+∞），故当a≤-1时，f′（x）≥0，从而f（x）在（0，+∞）上是增函数，当-1＜a时，由导数等于0得，再利用导数大于0得增区间，导数小于0得减区间；
（2）由函数f（x）有极值点x，可知ax2=1-2x，从而f（x）=lnx-．
设，则问题转化为求φ（x）的最大值，故得证；
（3）若f′（）=0，则-2=0．由方程f（x）=3有两个不相等的实根x1，x2，则lnx1-=3．故有ln令．所以H′（t）=＞0，所以H（t）＞H（1）=0，从而，即可得结论．
【解析】
（1）f′（x）=．
若a≤-1时，则f′（x）≥0，∴f（x）在（0，+∞）上是增函数．
若-1＜a＜0时，则f（x）在（0，，+∞）上是增函数，在（）上是减函数．
若a＞0时，则f（x）在（0，）上是增函数，在（，+∞）上是减函数．…（4分）
（2）由f′（x）==0得：ax2=1-2x
∴f（x）=lnx-．
设φ（x）=lnx-x-（x）＞0．
当x∈（1，+∞）时，φ′（x）＜0．
∴φ（x）的最大值为φ（1）=-．--------（9分）
（3）若f′（）=0，则-2=0．
∵lnx1-=3．∴ln
令．
∴H′（t）=＞0∴H（t）＞H（1）=0
故∴，即f′（）≠0-----（14分）