Question

如图，在平面四边形ABCD中，AB=AD=1，∠BAD=θ，△BCD是正三角形．
（Ⅰ）将四边形ABCD的面积S表示为θ的函数；
（Ⅱ）求四边形ABCD的面积S的最大值及此时θ角的值．

Answer

（Ⅰ）由题设条件知S四边形=S△ABD+S△BCD，由于可由题设条件用θ三角函数表示出来，△BCD是正三角形，需要在，△BAD由余弦定理求出其边长方能计算出它的面积，分别计算出两个三角形的面积，再相加即可得到四边形ABCD的面积S表示为θ的函数；
（II）由（I）中的四边形的面积函数表达式，利用三角函数的有界性求出函数的最值及最值取到时θ角的值．
【解析】
（I）由余弦定理得，BD2=AB2+AD2-2AB×BDcosθ=2-2cosθ
（也可得到）（2分）
S四边形=S△ABD+S△BCD=+=（5分）
，θ∈（0，π）；（7分）
（II）由（I）
当时，S最大值为（10分）